Родился 25 января 1961 года в Новосибирске. В 1976 году окончил 8 классов средней школы №171. В 1979 году окончил СГПТУ №34 по специальности газоэлектросварщик.
С 1979 по 1981 год служил в рядах Советской армии в в/ч 10944 в должности стрелка-гранатомётчика. После демобилизации работал на заводе «Электросигнал» слесарем-сборщиком радиоаппаратуры.
С 23 ноября 1982 года — пожарный СВПЧ-6 УПО УВД Новосибирской области, младший сержант внутренней службы.
24 ноября 1983 года в 22:44 поступило сообщение о пожаре в жилом доме по адресу: ул. Ватутина, 23. К месту пожара были направлены два отделения на автоцистернах и автолестница СВПЧ-6. К месту пожара в 22:49 первым прибыло второе отделение во главе с младшим сержантом Гуляевым В. П.. На месте вызова создалась сложная оперативная обстановка: из открытых дверей подвала интенсивно шёл густой дым, лестничная клетка была полностью задымлена. Младший сержант Гуляев В. П. объявил ранг пожара №2 и дополнительно запросил автомобиль-дымосос. Звено, включившись в АСВ-2, со стволом «Б» ушло в подвал и приступило к тушению очага пожара. В 22:53 к месту пожара прибыло первое отделение ПЧ-6 во главе с начальником караула, лейтенантом внутренней службы Лисицыным В. В.. В 23:35 руководителю тушения пожара подполковнику Чередиикову В. В. было доложено, что звено ГЗДС лейтенанта Лисицына В. В. найти не удалось, и он в эфир не выходит. В течение 90 минут 8 звеньев ГЗДС в подвале вели поиски пропавшего звена. Поисковые работы затруднялись наличием обрушенных дощатых перегородок в подвале, а также тем, что распахнутые двери кладовок своим полотнищем перекрывали проход, образуя своеобразный лабиринт. В 01:08 звено ГЗДС Мельникова В. И. обнаружило лейтенанта Лисицына В. В. (в маске от АСВ-2) и рядовых Куликова А. А., Панычева А. А. (со снятыми масками) без признаков жизни. Причиной смерти Куликова Анатолия Александровича явилось отравление окисью углерода.
В 1983 году Указом Президента Верховного Совета РСФСР он был награждён медалью «За отвагу на пожаре» (посмертно).
Похоронен на Заельцовском кладбище в Новосибирске.
Память о герое:
Мемориальная доска в честь погибших при исполнении служебных обязанностей при тушении пожара в подвальном помещении дома по улице Ватутина 23, установлена на основании постановления мэра г. Новосибирска от 11.06.1997 г. № 559.
Имя Анатолия Куликова высечено на мемориальной доске в зале боевой славы Главного управления МЧС России по Новосибирской области (г. Новосибирск, ул. Октябрьская, 80).
Памятник всем героям мирного времени, пожарным и спасателям, установлен в Новосибирске в сквере на пересечении улиц Красный проспект и Державина (у дома 14 по улице Державина).
Ежегодно проводятся памятные мероприятия, где вспоминают и Куликова Анатолия.
