Родился Александр Александрович в станице Батуринской в семье кубанского казака. С 14-летнего возраста будущему пожарному пришлось привыкать к самостоятельной жизни. Учился в Екатеринодарском ремесленном училище, работал переплётчиком, репетитором, сельским учителем.
В 1911 году блестяще окончил Петроградские курсы пожарных техников, где был единственным стипендиатом. Службу в пожарной охране начал брандмейстером на железнодорожной станции Лозовая. Работал инструктором добровольных пожарных дружин Симбирской губернии, помощником начальника и с 1918 года заместителем начальника Петроградского института пожарных техников.
После окончания Гражданской войны имущество пожарной охраны практически полностью было разграблено и разрушено. И нелёгкое бремя восстановления утраченного легло на плечи А. А. Борчевского. 19 июля 1920 года Александр Александрович был назначен брандмайором Краснодарской Городской Пожарной Команды, руководителем пожарной охраны Кубано-Черноморского края (Кубанского округа).
Стараниями Александра Александровича Борчевского уже к 1925 году Краснодарская Пожарная Команда была полностью восстановлена. За пять лет своей активной деятельности новый руководитель пожарной охраны Кубани пересмотрел всю её структуру. В этот период произошло увеличение кадрового состава пожарной охраны со 101 (1920) до 216 человек (1925). Значительные изменения коснулись и условий труда пожарных. Бессменный режим службы сменился на двухсменную систему дежурства, было упразднено казарменное положение.
Силами огнеборцев в кратчайшие сроки удалось построить заново или переоборудовать здания пожарных частей с рациональным размещением в них казарм, конюшен, трубных отделений. Все здания частей были оборудованы электрической сигнализацией. Построены три пожарные каланчи, что позволило охватить наблюдением всю территорию Краснодара. Между частями была организована прямая линия телефонной связи на 10 вёрст со станцией-коммутатором и 18 телефонными аппаратами.
Важнейшей задачей стала автомобилизация службы. За четыре года произошло коренное техническое перевооружение обоза, который на 50% был переведён с конной тяги на автомобили, а к 1924 году созданы принципиально новые конструкции пожарных автомобилей. К этому моменту весь автомобильный потенциал пожарной охраны был оснащён автоцистернами с полузакрытым кузовом и 24-метровой съёмной выдвижной механической лестницей, конный состав доведён с трёх до десяти молодых высокосортных артиллерийских лошадей. Огнетушащая способность обоза впечатляла. Каждый пожарный расчёт имел в запасе 14 действующих насосов, 22 подающие струи. Запас воды на колёсах составлял 11 000 литров. Длина водяной линии достигала 2800 метров.
Впервые за всю историю отечественной пожарной охраны именно в Краснодаре стали применять распылённую воду в борьбе с огнём. Благодаря этой технологии успешно были ликвидированы пожары в здании Совпартшколы, на вокзале Северо-Кавказской железной дороги и на заводе «Саломас».
Кроме того, повсеместно проводилась пропаганда противопожарных знаний среди населения. Была организована первая пожарная выставка, экспонаты которой стали основой музея, открытого в 1939 году. В каждом населённом пункте Кубани были сформированы добровольные пожарные дружины.
В 1923 и 1928 годах по представлению НКВД РСФСР за успехи в работе и самоотверженность в борьбе с пожарами Краснодарская Пожарная Команда оказалась занесённой на Красную Доску лучших пожарных организаций РСФСР.
В 1930 году Александр Борчевский уехал на стройку Магнитостроя, где стал начальником военизированной пожарной охраны. За год его работы убытки от пожаров на Магнитострое уменьшились в 10 раз. В период с 1934 по 1938 год он работал в Ленинградской школе военизированной пожарной охраны заместителем, а позже начальником учебного отдела.
Умер Александр Александрович Борчевский 27 марта 1943 года в блокадном Ленинграде. Останки знаменитого брандмайора Краснодарской Городской Пожарной Команды захоронены в одной из братских могил в северной столице.
